Gerade und ungerade Zahlen
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Eine ganze Zahl ist
- gerade, wenn sie (ohne Rest) durch 2 teilbar ist.
Sie ist
- ungerade, wenn sie nicht (ohne Rest) durch 2 teilbar ist.
Gerade Zahlen sind
- ..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
Sie sind das Doppelte einer ganzen Zahl (und haben also die Form 2k mit einer ganzen Zahl k).
Ungerade Zahlen sind
- ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...
Sie ergeben bei Division durch 2 den Rest 1 (und haben also die Form 2k+1 mit einer ganzen Zahl k).
[Bearbeiten] Eigenschaften
- 2 ist die einzige gerade Primzahl.
Vgl. den unübersetzbaren Ausspruch
- All primes are odd, but two is the oddest of all.(even und odd bedeutet bei Zahlen gerade bzw. ungerade, odd heißt aber auch "merkwürdig".)
- Jede ganze Zahl kann (in eindeutiger Weise) als Produkt einer Potenz von 2 und einer ungeraden Zahl
geschrieben werden:
-
(siehe Primfaktorzerlegung)
Die Goldbachsche Vermutung behauptet:
- Jede gerade Zahl ist Summe von zwei Primzahlen.
- Beispiele:
- 16 = 5+11
- 50 = 19+31
Bisher sind nur viele Teilergebnisse erzielt worden. Die Vermutung selbst ist jedoch noch unbewiesen.
- Alle bekannten vollkommenen Zahlen (6, 28, ...) sind gerade.
Es ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt.
[Bearbeiten] Rechenregeln
Die Einteilung der natürlichen Zahlen nach ihrer Parität ist das einfachste Beispiel für die Bildung von Kongruenzklassen (siehe Teilbarkeit).
Die (Merk-)Regeln
- gerade + gerade und ungerade + ungerade ergeben gerade
- gerade + ungerade und ungerade + gerade ergeben ungerade
sowie
- gerade mal gerade, gerade mal ungerade und ungerade mal gerade ergeben gerade
- ungerade mal ungerade ergibt ungerade
sind das einfachste Beispiel für einen endlichen Körper (hier mit nur zwei Elementen).
Schreibt man 0 für gerade und 1 für ungerade, so erhält man
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