Funktion (Mathematik)

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Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt).

Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operation für Funktionen verwendet.

Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu.

Eine Funktion ist also eine eindeutige Zuordnung und hat demnach die explizite Eigenschaft:

Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet.

Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben; man nennt sie Funktionsgleichung.


Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt:

Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat:
  • f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt.
  • zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge B explizit zu einem Teil der Funktion machen, und definiert:

Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt.

Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

[Bearbeiten] Schreibweisen und Sprechweisen

  • Statt der bekannten Schreibweise aus der Mengenlehre f \subseteq A \times B schreibt man
    f\colon A \to B
Sprechweise:
„Funktion f von A nach B“
  • Statt der bekannten Schreibweise aus der Mengenlehre (x,y) \in f schreibt man
    f\colon x \mapsto f(x) oder y = f(x)
Sprechweise:
„x wird abgebildet auf f von x“
„x wird f von x zugeordnet“
„y gleich f von x“
„y ist das Bild von x unter der Abbildung f“

Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich oder Domain genannt. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch „x-Werte“, die Zielmenge B wird auch Codomain genannt, die Elemente von B heißen salopp auch „y-Werte“. Funktionswerte heißen dagegen nur diejenigen Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Als "Wertemenge" oder "Wertebereich" wird etwas uneinheitlich

  • entweder die Bildmenge, also die Menge {f(x) | x ∈ A} der tatsächlich angenommenen Werte,
  • oder die Zielmenge

bezeichnet.

[Bearbeiten] Funktionen als Strukturen

Eine große Rolle spielen Funktionen in der Mathematik auch als Hilfsmittel, um mehreren gleichartigen Größen eine Struktur zuzuordnen.

Beispiel
Um den Werten 4, 5, 6 und 4 die Struktur einer Tabelle mit zwei Spalten und zwei Zeilen zuzuordnen
\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 6 & 4\\ \end{pmatrix}
wird jeder Position in der Tabelle (repräsentiert durch das Zahlenpaar Zeile und Spalte) ein Wert zugeordnet, hier zum Beispiel für Wert 6 in Zeile 2, Spalte 1:
(2,1)\mapsto 6
Die Funktion
\{(1,1),(1,2),(2, 1),(2,2)\}\to \mathbb{R},\quad (i,j)\mapsto a_{ij}
ist eine allgemeine Darstellung einer solchen Tabelle mit Werten a11, a12, a21 und a22.

Auf diese Weise werden in der Mathematik unter anderem N-Tupel, Folgen und Matrizen definiert.

[Bearbeiten] Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die y = f(x). Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

[Bearbeiten] Beispiele

Die Normalparabel: f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\;\; x \mapsto x^2

Die Nachfolger-Funktion: s:\mathbb{N} \to \mathbb{N} ,\;\; x \mapsto x+1

[Bearbeiten] Wichtige Begriffe

  • Das Bild eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
  • Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Elemente die in B getroffen werden, also f(A) = { f(x) : x in A } und dies ist eine Teilmenge von B
  • Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f -1(y) = { x in A : f(x) = y }. Man sagt auch Faser von y.
  • Das Urbild einer Teilmenge M der Zielmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f -1(M) = { x in A : f(x) in M }.
  • Die Verkettung oder Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
  • Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
  • Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

[Bearbeiten] Eigenschaften von Funktionen

[Bearbeiten] Allgemeine Eigenschaften

[Bearbeiten] Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind

[Bearbeiten] Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z. B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Zielmenge „Rücksicht nehmen“, werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

[Bearbeiten] Spezielle Funktionen und Funktionstypen




Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungsmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

[Bearbeiten] Analytische Funktionen

  • Algebraische Funktionen Eine Funktion ist algebraisch, wenn sie sich nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzt.

[Bearbeiten] Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind

[Bearbeiten] Weitere Funktionen

[Bearbeiten] Siehe auch

[/Commons:Category:Functions?uselang=de Commons: Functions] – Bilder, Videos und/oder Audiodateien

[Bearbeiten] Weblinks

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