Funktionaldeterminante
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Die Funktionaldeterminante ist die Determinante der Jacobi-Matrix. Sie spielt bei der mehrdimensionalen Integralrechnung, also der Berechnung von Oberflächen- und Volumenintegralen, eine Rolle. Dort wird der Übergang zwischen Koordinatensystemen etwa mittels des Transformationssatzes beschrieben. Damit spielt sie auch eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie.
[Bearbeiten] Beispiel
[Bearbeiten] Zylinderkoordinaten
Die Umrechnungsformeln von Zylinderkoordinaten (r, 
, h) in kartesische Koordinaten lauten:
- z = h
Die Funktionaldeterminante lautet also:
Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:
Genausogut hätte man eine andere Reihenfolge der Polarkoordinanten wählen können. Die Funktionaldeterminante lautet dann beispielsweise:
In das Transformationsgesetz geht jedoch immer nur der Betag der Determinante ein, also ist das Ergebnis dann unabhängig von der gewählten Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird.
[Bearbeiten] Kugelkoordinaten
Die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten (
) in kartesische Koordinaten lauten:
- z = rcosθ
Die Funktionaldeterminante lautet also:
Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:
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