65537-Eck
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Das 65537-Eck ist eine geometrische Figur aus der Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch 65.537 Punkte, die durch ebensoviele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.
Dieser Artikel befasst sich ausschließlich mit dem regelmäßigen 65537-Eck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen. Es ist in der grafischen Darstellung von einem Kreis praktisch nicht zu unterscheiden (siehe Abbildung rechts).
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[Bearbeiten] Konstruktion
Das Besondere am 65537-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die Hilfsmittel Zirkel und Lineal (die Euklidischen Werkzeuge) konstruiert werden kann. Die Zahl 65.537 ist die größte bekannte Fermat'sche Primzahl:
.
Carl Friedrich Gauß hat 1836 bewiesen, dass ein regelmäßiges Vieleck mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken eine Fermat'sche Primzahl ist.
Im Jahr 1894 fand Johann Gustav Hermes nach mehr als zehnjähriger Anstrengung eine Konstruktionsvorschrift für das regelmäßige 65537-Eck und beschrieb diese in einem Manuskript von mehr als 200 Seiten.
[Bearbeiten] Proportionen
[Bearbeiten] Winkel
Der Zentriwinkel hat den Wert 
.
Der Innenwinkel hat den Wert 
.
[Bearbeiten] Veranschaulichung
Zur Veranschaulichung der Proportionen dieser praktisch nicht darstellbaren Figur mögen folgende Überlegungen dienen:
- Die Abweichung des Zentriwinkels von 0° sowie die des Innenwinkels von 180° beträgt jeweils nur etwa 0,005°. Hebt man eine 100 m lange auf dem Boden liegende Stange an einem Ende um nur einen Zentimeter an, bildet diese mit dem Boden etwa diesen Winkel.
- Wollte man ein 65537-Eck mit einer Seitenlänge von nur 1 cm zeichnen, hätte dieses einen Durchmesser von mehr als 200 m.
- Zeichnete man ein 65537-Eck mit 20 cm Durchmesser auf ein Zeichenblatt, so betrüge die Seitenlänge weniger als ein Zehntel des Durchmessers des dünnsten menschlichen Haares.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Literatur
- Johann Gustav Hermes: Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Göttingen, 1894, S. 170–186. (Faksimile dieses Artikels siehe Weblinks.)
[Bearbeiten] Weblinks
- Das 65537-Eck auf www.mathworld.com (englisch)
- Faksimile der Arbeit Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile (siehe Literatur)
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